ЧИСЛОВОЙ РЯД

ЧИСЛОВОЙ РЯД – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом:
a1 + a2+ a3 + … + an+ … = .
Каждому натуральному n сопоставляется сумма первых n членов последовательности
S1 = a1, S2= a1 + a2, …, Sn == a1 + a2 + a3 + … + an, …
Значения Sn называют частичными суммами ряда. Они образуют последовательность последовательность частичных сумм (бесконечного) ряда an –общий член ряда.
Если последовательность частичных сумм данного ряда имеет предел S, то есть
,
то ряд сходится и S – его сумма. Записывается это следующим образом:
a1 + a2 + a3 + … + an + … = S, или = S.
В противном случае ряд называют расходящимся.
Таким образом, сумма ряда – это, по определению, предел последовательности его частичных сумм.
Пусть есть геометрическая прогрессия bn = b1qn–1, знаменатель которой q по абсолютной величине меньше единицы (–1 q n членов геометрической прогрессии:
Sn= b1+ b1qn + b1q2 + …+ b1qn–1= .
Очевидно, что при |q| n значение qn стремится к нулю. Тогда значение Sn стремится к и это число называется суммой всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии: b1 + b1qn + b1q2 + …=.

Признаки сходимости рядов. Необходимый признак сходимости ряда: последовательность членов сходящегося ряда должна стремится к нулю: .
Это условие не является достаточным, как показывает пример ряда .
Для этого ряда выполняется необходимый признак сходимости ряда: , однако, ряд расходится, так как частичные суммы
неограниченно возрастают.
Для выяснения сходимости рядов найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.
Признак Д"Аламбера: если существует такое положительное c 1, что начиная с некоторого n, выполняется неравенство
,
то ряд сходится. Если же начиная с некоторого n, выполняется неравенство
,
то ряд расходится. Отсюда, в частности, следует сходимость геометрической прогрессии при знаменателе 0 q и расходимость при q і 1.
Признак Коши: если существует такое положительное c n, выполняется неравенство:
,
то ряд сходится. Если же, начиная с некоторого n, выполняется неравенство:
,
то ряд расходится.
Особое место среди рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины рядов монотонно убывают. Оказывается, для таких рядов необходимый признак сходимости ряда является одновременно и достаточным, т.е., если, то ряд сходится.

Некоторые замечательные ряды.

– гармонический ряд, расходится.
Анна Чугайнова