Словари

А Б В Г Д Е З И К Л М Н О Ф Х Ц Ч Ш Э Я
КА КИ КО КР КЭ

КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ

КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ. Исчисление конечных разностей связано с изучением свойств и применений разностей между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово «конечные» используется здесь в несколько устаревшем смысле «не бесконечно малые», т.е. не связанные с предельными переходами. Поскольку дифференциальное исчисление занимается изучением пределов разностей, а исчисление конечных разностей – самими разностями, то естественно, что между этими двумя теориями существуют много параллелей. Исчисления конечных разностей используются при интерполяции в математических таблицах, при суммировании числовых рядов, при вычислении интегралов и дифференцировании функций. Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихся условий на определенном расстоянии (во времени и в пространстве). Например, термостату требуется значительное время, чтобы отреагировать на изменение температуры, поэтому он реагирует не на текущую температуру, а на ту, что была минуту назад. Другой пример: автомашиной управляет водитель, которому требуется какое-то время, чтобы отреагировать на возникшую на дороге ситуацию.
Под конечной разностью первого порядка функции f (x) принято понимать величину

где d – некоторая постоянная, которую часто, но не всегда, принимают равной 1. Разность второго порядка обозначается D2f и представляет собой разность разностей, т.е.

Продолжив этот процесс, мы получим разности более высоких порядков D3f (x), D4f (x), ј .
Данные выше определения можно также применить к членам любых последовательностей величин, например, к последовательности
3, 6, 11, 18, 27, 38, ј .
Первые разности равны
6 – 3, 11 – 6, 18 – 11, 27 – 18, 38 – 27, ј,
т.е.
3, 5, 7, 9, 11, ј;
разности второго порядка постоянны и равны 2.
В общем виде такие последовательности можно записать как

где разности первого, второго и т.д. порядков определяются выражениями

а n может принимать любое допустимое для индекса значение.
В некоторых приложениях используются последовательности вида

где индексы могут принимать любые убывающие значения. В этом случае вместо символа D используется символ «разделенной разности». Разделенные разности первого и второго порядков определяются следующим образом:

Помимо уже названных выше приложений, исчисление конечных разностей используется в страховании, теории вероятностей и статистике. В последние годы с изобретением быстродействующих компьютеров конечные разности стали все более широко применяться при решении дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, многие из которых ранее было невозможно решить другими математическими методами.
У истоков теории. Хотя исследование свойств и использование конечных разностей приходится на современный период развития математики, Птолемей (ок. 150 н.э.) ввел в Альмагесте таблицу разностей первого порядка, чтобы облегчить расчеты в таблице длин хорд. Разности второго порядка использовал при вычислении своих таблиц логарифмов в 1624 Г.Бриггс. Теория интерполяции берет начало со знаменитой пятой леммы из 3-й книги Математических начал (1687) И.Ньютона, в которой впервые была приведена формула, носящая ныне его имя. Частный случай формулы Ньютона, открытый также независимо его современником Дж.Грегори (1638–1675), приведен ниже (см. формулу (7)). В общей формуле интерполяции Ньютона использовались разделенные разности, хотя этот термин, по-видимому, был введен О.де Морганом (1806–1871) в 1848. Первое применение исчисления конечных разностей к задачам теории вероятностей принято связывать с именами П.де Монтмора (1678–1719) и А.де Муавра (1667–1754).
Хотя Л.Эйлер (1707–1783) в своих работах по дифференциальному исчислению использовал предельные переходы в конечных разностях, основания современной теории конечных разностей были заложены в основном Ж.Лагранжем (1736–1813) и П.Лапласом (1749–1827). Первый из них ввел в исчисление конечных разностей символические методы, второй сделал конечные разности главным инструментом в своей Аналитической теории вероятностей (1812).
Под влиянием этих работ математики 19 в. принялись интенсивно разрабатывать предмет, и в 1860 Дж.Буль выпустил свой классический Трактат об исчислении конечных разностей. С тех пор это исчисление и круг его приложений существенно расширились. Одно из наиболее важных приложений конечные разности нашли в статистике. Особенно полезными они оказались в теории сериальной корреляции, в анализе случайных последовательностей и статистических временных рядов.
Интерполяция. Чтобы понять, как конечные разности используются при интерполяции, рассмотрим следующую таблицу:

АргументТабличное значениеD D2 D3 x – 2df (x – 2d)  D2 f (x – 3d)    D f (x – 2d)  D3 f (x – 3d) x – df (x – d)  D2 f (x – 2d)    D f (x – d)  D3 f (x – 2d) xf (x)  D2 f (x – d)    D f (x)  D3 f (x – d) x + df (x + d)  D2 f (x)    D f (x + d)  D3 f (x) x + 2df (x + 2d)  D2 f (x + d)    D f (x + 2d)  D3 f (x + d) x + 3df (x + 3d)  D2 f (x + 2d)  
Величины в первом столбце таблицы называются значениями аргумента, во втором – табличными значениями функции. В трех следующих столбцах приведены разности первого, второго и третьего порядков. Числа 7, 12, 6 называются «ведущими» или «диагональными разностями», соответствующими первому аргументу. Термин «диагональные» использован потому, что разности относительно соответствующих аргументов и табличных значений располагаются не по горизонтали.
Величина (1/2) (19 + 37) = 28 называется центральной разностью, соответствующей третьему аргументу, и обозначается символом md. Греческая буква m означает среднее, md – среднее соседних разностей. Величина 18 называется центральной разностью второго порядка и обозначается символом d2. Термин «центральная» указывает на то, что эти разности расположены по центру относительно аргумента, т.к. они либо лежат на одной горизонтали с аргументом, либо являются средними значений, расположенных по соседству с этой горизонталью.
Обобщая, таблицу величин можно записать в символических обозначениях следующим образом:

xf (x) = x3DD 2D 311     7  28 12   19 6327 18   37 6464 24   61  5 125   
Величины D f (x), D2 f (x), D3 f (x) представляют собой диагональные разности, соответствующие аргументу x. Если мы захотим найти табличные значения для аргумента x + pd, где p – некоторое произвольно выбранное число, то необходимо подставить соответствующие значения в следующий ряд, известный под названием интерполяционной формулы Грегори – Ньютона (в русскоязычной литературе эту формулу принято называть формулой Ньютона):

где 2! (читается «два факториал») означает 1 Ч 2, 3! = 1 Ч 2 Ч 3 и т.д.
В литературе встречается несколько вариантов формулы Грегори – Ньютона. В некоторых из них вместо диагональных разностей используются центральные разности. Так, центральные разности, соответствующие аргументу x, определяются следующим образом:

и т.д.
В качестве примера найдем по формуле интерполяции значение (2,5)3 из приведенной выше числовой таблицы. Так как d = 1, p = 1/2 и диагональные разности, соответствующие x = 2, равны D = 19, D2 = 18, D3 = 6, находим по формуле интерполяции
на заглавную О сайте10 самыхСловариОбратная связь к началу страницы
© 2011 - 2013
Словарь
Словарь online
XHTML | CSS
1.8.11